|
Лаборатория Механических испытаний |
|
Прочность—залог успеха |
|
КРУЧЕННЯ 1. Крутячий момент. Епюри крутячих моментів Кручення – опір стержня коли в поперечних перерізах стержня від зовнішнього навантаження виникають тільки крутячі моменти (інші внутрішні силові фактори відсутні). Стержень, що працює на кручення, називають валом. Кручення зазнають вали двигунів, станків, локомотивів, елементи просторових стержневих конструкцій. Кручення викликається дією зовнішніх моментів, що лежать в площині, перпендикулярній повздовжній осі стержня. Такі моменти будемо називати обертовими моментами і позначати Т. Внутрішні силові фактори (крутячі моменти) в поперечних перерізах стержня визначаються за методом перерізів. Встановимо правила для визначення крутячих моментів в стержнях, навантажених зовнішніми обертовими моментами. Розглянемо скручування вала двома обертовими моментами Т, прикладеними в його торцях (рисунок 1 а). Визначимо внутрішній крутячий момент в довільно вибраному поперечному перерізі I – I. Мислено розсічемо вал цим перерізом на дві частини і відкинемо праву частину вала (рисунок 1 б). Дію відкинутої частини замінимо дією внутрішнього крутячого моменту Мк. Із умови рівноваги лівої частини вала знаходимо : Мк = Т
Рисунок 1 – Кручення вала: а – навантаження зовнішніми обертаючими моментами T; б, в – внутрішні крутячі моменти Мк відповідно для лівої і правої частини вала У перерізі відкинутої частини вала, що розглядається, у відповідності з третім законом Ньютона діє той же внутрішній крутячий момент Мк, але протилежного напрямку. Відкинута частина валу також врівноважена (рисунок 1 в). В загальному випадку, коли на вал діє довільне число зовнішніх крутячих моментів, формула (6.1) для визначення внутрішнього крутячого моменту в поперечному перерізі вала приводиться до вигляду :
де ΣТ - алгебраїчна сума зовнішніх крутячих моментів, прикладених до вала по одну сторону переріза. Внутрішній крутячий момент в довільному поперечному перерізі вала дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх крутячих моментів, прикладених по одну сторону від перерізу. Знак крутячого моменту не має фізичного змісту. Але для однозначності побудови епюр крутячих моментів будемо притримуватись наступного правила знаків. В попередный формулі зовнішній крутячий момент береться із знаком “+”, якщо при погляді на відсічену частину вала із сторони зовнішньої нормалі n він направлений проти ходу годинникової стрілки (рисунок 6.1 б, в) і із знаком “–” – коли крутячий момент направлений по ходу годинникової стрілки. 6.2 Дотичні напруження Для визначення напружень по відомому крутячому моменту розглянемо кручення вала круглого поперечного перерізу (виготовленого для більшої наочності, наприклад, із гуми), на бокову поверхню якого нанесена прямокутна сітка із прямих, паралельних поздовжній осі, і окружностей, що представляють собою зовнішні контури поперечних перерізів (рисунок 2). При дії крутячих моментів поздовжня вісь вала залишається прямолінійною, поперечні перерізи (круги) не викривлюються і відстані між ними не змінюються, переріз повертається відносно поздовжньої осі. Розглянемо вал жорстко закріплений одним кінцем (рисунок 2). Під дією крутячого моменту Т, прикладеного на вільному кінці вала, повернуться на деякі кути по відношенню до свого початкового положення або, що теж саме, по відношенню до нерухомого перерізу (затисненню).
Рисунок 2 – Деформація вала при крученні Для довільного перерізу Ι з координатою z кут повороту складатиме jz, а для перерізу ΙΙ з координатою z + dz : jz + Djz. Кут dj представляє собою кут повороту перерізу ΙΙ відносно перерізу Ι, або кут закручування елемента вала dz . Методом перерізів не важко визначити, що у всіх поперечних перерізах вала діє крутячий момент : Мк = Т. Виразимо його через дотичні напруження, що виникають в перерізі. Дотичне напруження в кожній точці перерізу спрямовано перпендикулярно радіусу. Це витікає із характеру деформації: при повороті перерізу його точки переміщаються по концентричним колам, тобто напрямок переміщень точок і напрямок виникаючих в них дотичних напружень перпендикулярні відповідному радіусу (рисунок 6.3). Момент елементарної сили τdA відносно повздовжньої осі (точка О) дорівнює : dMk = (tdA)r. Інтегруємо цей вираз по площі перерізу А, отримаємо залежність, що зв’язує крутячий момент і дотичні напруження :
Для вияснення закону розподілу дотичних напружень виділимо частину вала dz між перерізами Ι і ΙΙ і радіусом ρ(0 ≤ ρ ≤ r, де r – радіус валу) (рисунок 2). Приймемо, що виділена частина в перерізі Ι затиснена. Потім з частини вала dz відокремимо сектор кільця з довільним центральним кутом ψ радіусом ρ і товщиною dρ (рисунок 3).
Рисунок 3 – Деформація елемента вала при крученні Точка В перерізу ΙΙ при його повороті на кут dφ перейде з положення В в положення В' і з трикутника АВВ' абсолютне переміщення точки В дорівнює : ВВ′ = dz tg γ . Із-за малості деформацій tg γ = γ (тут γ – кутова деформація). Тоді : ВВ′ = dz γ . Аналогічно із трикутника ОВВ': ВВ′ = rdj . Із двох останніх виразів, прирівнюючи їх праві частини, отримаємо значення кутової деформації :
Згідно із законом Гука для зсуву (t = gG) знаходимо значення дотичного напруження :
Позначимо : Величина J p називається полярним моментом інерції перерізу.
Підставивши (6.8) в (6.6), отримаємо формулу розподілу дотичних напружень по перерізу валу :
Із цієї формули слідує, що дотичні напруження змінюються вздовж будь якого розміру по лінійному закону і в точках рівновіддалених від центру перерізу однакові. Епюра розподілу дотичних напружень в круглих та кільцевих перерізах вала показана на рисунку 4.
Рисунок 4 – Епюри дотичних напружень в круглому (a) і кільцевому (б) поперечних перерізах Найбільшого значення дотичне напруження досягає при r = rmax = r Тоді Величина Wp називається полярним моментом опору перерізу. Тоді отримуємо формулу для дотичного напруження:
|
